この計算を見て何を思いますか？
ｎ倍角の分母は 5^n っぽいですね！
これは正しそうですか？
加法定理を使えば，数学的帰納法で示せそうです．
ですが，
既約分数としての分母が 5^n になるのか？
というのは易しくないように思います．
いかがでしょうか？
実は，下に書いた２つの式が大事なポイントになっています．
並んでいる数を見ると，
cos(nθ)＝(5A+3)/5^n，sin(nθ)＝(5B+4)/5^n
となっていそうです（A,Bは整数）．
実際，加法定理で，
cos(n+1)θ＝cos(nθ)cosθ－sin(nθ)sinθ
sin(n+1)θ＝sin(nθ)cosθ＋cos(nθ)sinθ
となり，
cos(nθ)＝(5A+3)/5^n，sin(nθ)＝(5B+4)/5^n
であれば，
cos(n+1)θ＝{3×(5A+3)－4×(5B+4)}/5^n
sin(n+1)θ＝{3×(5B+4)＋4(5A+3)}/5^n
である．それぞれの分子はmod ５で
3×(5A+3)－4×(5B+4)≡9－16≡3
3×(5B+4)＋4(5A+3)≡24≡4
なので，
cos(n+1)θ＝(5C+3)/5^(n+1)
sin(n+1)θ＝(5D+4)/5^(n+1)
結局，分子を5で割った余り（3，4）は変化しないのです．
だから，分子が5の倍数になることはなく，分母の5^nが約分されることはないのです！
もっと言うと，分子が0になることはない！
つまり，θを自然数倍して得られる角度のサイン，コサインは決して0になりません！
θの自然数倍がπの整数倍にはならないのですね！
要するに，
弧度法で言うと，θはπの有理数倍ではない
度数法で言うと，θは有理数ではない
と分かるのですね！
３，４，５のピタゴラス数を生む直角三角形の鋭角は，整数°ではない！
※私の書籍一覧もご覧ください※
☟
