問 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
１辺の長さが１の正三角形ABCがある．三角形ABCの外接円の周上に点 P をとる
とき，
AP^2＋BP^2＋CP^2
の値を求めよ．
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頑張って座標を置いて，三角関数の問題にしてみたり，色々と考えられますが，実は，認知の仕方を変えると，一瞬で分かってしまいます．
そこで，こんな問題．
(★)の左辺は，z＝αのとき，
|0|^2＋|α－β|^2＋|α－γ|^2＝AB^2＋CA^2＝1＋1＝2
だから，(★)は A を通ることが分かります．
同様に，B，Cを通ることも分かります．
しかも，(★)は円を表すことが“式の雰囲気”から分かる（後述）ので，
(★)は正三角形ABCの外接円を表しています．
外接円の複素方程式です．
(★)を図計量の形で書くと
AP^2＋BP^2＋CP^2＝2
となります．
これを満たす点Pの軌跡が，正三角形の外接円．
それは，Pは円周上を動き，かつ，円周上のすべての点に位置し得る，ということです．
だから，正三角形の外接円上のすべての点Pは
AP^2＋BP^2＋CP^2＝2
を満たすことが分かります．
（雰囲気の説明）
数学は式変形でしか結論が出ないわけではありません．
「認知」が大事です．
式を見て，「円」とか「放物線」とか，そういったものが分からないと，何も始まらないのです．
複素数の絶対値の2乗を含む式は，成分（座標）の式としては，
|x+yi|^2＝x^2+y^2
となって，円っぽくなります．
絶対値は「距離」を表すので，そりゃそうです．
(★)はこんな形を3つ足しているだけなので，P(x+yi)とおいたら，
3(x^2+y^2)+ax+by+c=0
という形になるはずです．
円 または 1点 または ∅
です．
x^2+y^2＝1 👈円
x^2+y^2＝0 👈1点
x^2+y^2＝－1 👈∅
(★)を満たす点が2コ以上あれば，円であることが確定します．
さらに，3点目が分かれば，どんな円であるかが確定します．
情報をしっかりキャッチして，“定性的”に判断することも大事なのです．
（式だけでやるのは“定量的”と言えます）
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