唐突ながら，
“極限”＋“不等式”＝“ハサミウチ”
ですね！
さて，もともと，「式だけで漸近線を求める」という課題でしたから，
「図より，漸近線は 3x＋3y＋1＝0 である」
というのは，今回は避けることにします．
ちなみに，k の範囲は
１）曲線の式に，x＋y＝kを代入して，xy を k の式で
２）その際，k≠－1 / 3 が確定
３）x，y を解にもつ２次方程式が実数解をもつ条件（判別式≧0）
として求めることができますね．
さて，そうして得られた
－1 / 3 ＜ k ≦ 2
の意味を考えることにしましょう．
k＝2のときの直線 x＋y＝2 は，ひょっこりの頂点(1，1)を通るもので，ちょうど接しているようです．
k＝2以外の k の値については，(x，y)が2つずつ求まります．
そして，
k＝－1 / 3 のときの直線にどこまでも近づいていきそうだ
となるのです．
でも，図が分かっている前提で議論しているようになるのと，極限を使って論証したいというのと，２つの意図があるので，この不等式を
「極限」
に活かしてみようと思います．
x^3＋y^3－xy－1＝0
において，
①ｘ→＋∞のときにｙ→－∞になるのか？
②ｘ→＋∞のときに y / x が収束するのか？
が宿題なのでした（どんな x に対しても y が存在することは確認済）．
実は，もう宿題は終わったも同然です！
x^3＋y^3－xy－1＝0において，
－1 / 3 ＜ x＋y ≦ 2
が成り立ちます．
① y ≦ 2－x ，x → ＋∞
だから，ｙ→－∞
② x → ＋∞の極限を考えるからx＞0として良く，
－1 / 3x ＜ 1＋(y / x) ≦ 2 / x
∴ －1－1 / 3x ＜ y / x ≦－1＋ 2 / x
で，(－1－1 / 3x) → －1，(－1＋ 2 / x) → －1なので，
y / x → －1
ということで，宿題２つは解決しましたね！
－1 / 3 ＜ x＋y ≦ 2
から直接的に漸近線が求まったとも思えますが，極限を求めるのに不等式を使ったのが，ちょっと良いですよね．
おかげで，厳密に漸近線を考えることができました！
