「２次式」と「２次関数」．
実は違うのですけど・・・
違いは説明できるでしょうか？
まず，「関数」とは？
x を代入して y を得るルールのこと
x に代入できる数全体の集合のことを，「定義域」と呼んでいます．
「数列」を関数と見るときは，定義域は「自然数全体の集合」
Ｎ＝{1，2，3，‥‥‥}
a_n＝f( n ) となる関数 f( n ) が一般項で，等差数列は，
「自然数全体の集合を定義域として１次関数で表される」
というのが正確だろうと思います．
では，「多項式」と「多項式関数」の違い．
とくに２次の場合で話をしてみましょう．
「２次式」は，x^2，x，1 に係数を付けて足した形の「式」
a x^2＋b x＋c
のことです．
２次ですから，a ≠ 0 としておくのが良いですね．
「２次関数」は，得られる y が，x をある「２次式」に代入して得られるということ．
y＝a x^2＋b x＋c
もちろん，a ≠ 0 です．
さて，ここからが本番．
２次式 f(x)＝a x^2＋b x＋c と g(x)＝p x^2＋q x＋r について
①２次式としての一致
f(x) と g(x) が「２次式として」同じとは
a＝p かつ b＝q かつ c＝r …①
②２次関数としての一致
f(x) と g(x) が「２次関数として」同じとは
すべての x について f(x)＝g(x)が成り立つ …②
①が成り立つとき，②は成り立ちます．
これは「明らか」と言って大丈夫です．
しかし，「②が成り立つとき，必ず，①が成り立つのか？」は自明ではありません．
次のような説明が必要になります：
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②は，
すべての x について f(x)－g(x)＝0 が成り立つ …②'
と言い換えられます．ここから①を導きます．
すべての x で成り立つから，x＝1，2 でもf(x)－g(x)＝0 が成り立ちます．
f(x)－g(x)は，高々２次の多項式ですから，
f(x)－g(x)＝s(x－1)(x－2)
と置くことができます．
さらに，x＝0 でもf(x)－g(x)＝0 が成り立つので，
s(－1)(－2)＝0 ∴ s＝0
です．よって，多項式として
f(x)－g(x)＝0
∴ (a－p) x^2＋(b－q) x＋(c－r)＝0 x^2＋0 x＋0
が成り立ち，
a－p＝0，b－q＝0，c－r＝0
∴ a＝p かつ b＝q かつ c＝r …①
が導かれます．
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「何を代入しても同じだ」という関数としての性質を，係数比較で議論する「多項式」の言葉に直さないといけないのですね．
少しややこしくなりましたが，解読いただけたでしょうか？
「多項式」と「多項式関数」の違いは，生徒にどれだけ正確に伝えるかは別として，教える側は知っておく方が良いのではないかと思います．
続編として，もう少し違った観点から，２つの違いを考えてみようと思います．
お楽しみに．
