ベクトルって,図形的センスがなくても計算で図形問題が解けるようになる,魔法の道具です.
※今回は,略記として,「ベクトルAB」を(AB)と表すことにします.
例えば三角形PQRの垂心H.
外心Oを始点にすると,
(OH)=(OP)+(OQ)+(OR) ‥‥(*)
と表せるのでした.実際,
|(OP)|=|(OQ)|=|(OR)|
なので,(*)を満たすHは
(PH)・(QR)={(OH)-(OP)}・(QR)
={(OQ)+(OR)}・{(OR)-(OQ)}
=|(OR)|^2 - |(OQ)|^2
=0
を満たします.他も同じように考えて
PH⊥QR,QH⊥RP,RH⊥PQ
が分かるからです.
すごくシンプルな表示ですね!
Gを重心とすると
(OH)=3(OG)
となっているから,外心,重心,垂心がこの順に一直線に並ぶことが分かるのです.
しかも,
OG:GH=1:2
図形問題として考えると,補助線をたくさん引かねばならない難問ですが,ベクトルだとすごくスッキリ!
(OH)=(OP)+(OQ)+(OR) ‥‥(*)
が,外心Oを始点にして考えたときの垂心Hの表記方法になります.
どんな三角形でも,必ずこの法則を満たしています!
一方・・・
重心座標という考え方(詳細の説明は省略)を使ってみましょう.
三角形PQRの内部にある点Hは,面積比
△HQR:△HRP:△HPQ=p:q:r
とすると,
p(HP)+q(HQ)+r(HR)=(0)
が成り立つことが知られています.
今回の図では,面積比を
△HQR:△HRP:△HPQ=3:2:1
と求めることができ(点と直線の距離など)て,
3(HP)+2(HQ)+(HR)=(0)
が成り立つことが分かるのです.
始点がOになるように変形すると・・・
3(OP-OH)+2(OQ-OH)+(OR-OH)=(0)
∴ (OH)={3(OP)+2(OQ)+(OR)}/ 6 ‥‥(#)
です.
ちょっと複雑な形になってしまいました.
ちょっと待ってくださいよ.
上でも同じ(OH)を考えたけど,そこでの
(OH)=(OP)+(OQ)+(OR) ‥‥(*)
とは似ても似つかない形になりました.
これはどういうこと??
でも・・・
P(5,0),Q(0,5),R(-3,-4)
を当てはめると,両方とも
(OH)=(2,1)
になるのです!
何でこんなことが起こってしまうのでしょう??
平面は2次元.
2次元とは?
2つのベクトルで全部を表せる,という意味.
2つのベクトル(1次独立な)を用いて表す方法はただ1通りで,係数比較することが可能なのです.
あるベクトルを表す方法は,ただ1通り
でも,2次元を3つのベクトル(OP),(OQ),(OR)で表すのは・・・
本来は,
(OP),(OQ)を使って(OR)が表せる
のに,(OR)も使って表しているから,
平面で,あるベクトルを,3つのベクトルを使って表す方法は,
無数にある
となるのですね.
上で見たように,2つの理論(外心・垂心の性質&重心座標)を使って表した形が食い違って見えるけれど,無数にある中の2つであるというだけで,計算してみると同じベクトルを表していることが分かります.
何でもかんでも「ベクトルと言えば係数比較」なんて思っていると,ダメなんですね!