お世話になっている出版社「現代数学社」の雑誌「現代数学・2020年10月号」に載っていた問題を見て考えた（思い出した）ことがあるので，ちょっと書いてみます．
中学入試算数の元ネタになることもある，整数・分数・小数の性質です．
(1)
0. 3846153846153846 ‥‥ は，2 / 13 の小数第３位以下の部分．
とりあえず，0. 1538461538461538 ‥‥に何かを掛けたいのですが，何を掛けましょうか？
小数点を２だけずらすので，100 を掛けてみましょう！
200 / 13 ＝ 15. 3846153846153846 ‥‥
これから，ある数を引くと良いですね！
引く数は？
0. 3846153846153846 ‥‥
＝15. 3846153846153846 ‥‥ － 15
＝200 / 13 － 15
＝(200 － 195) / 13
＝5 / 13
15 を引けば良かったのですね！
○（1）の解説○
これって，実は，
100 ＝ 13 × 7 ＋ 9 ☜余りが 9
と関連があります．
2 × 9 ＝ 18 ＝ 13 × 1 ＋ 5 ☜余りが 5
この 5 が 5 / 13 の分子です．
5 は 200 を 13 で割った余り．
100 × 2 / 13 ＝ (13 × 商＋ 5) / 13 ＝ 整数 ＋ 5 / 13
ということですね．
(2)
2 / 13 で繰り返される数 153846 は，6 桁で，しかも，末尾の数が 6 です！
これが答えになるのではないでしょうか？
末尾の 6 を先頭に移動させた 615384 が，元の数 153846 の 4 倍になっていたら嬉しい！
筆算で計算してみると・・・
153846 × 4 ＝ 615384
アタリでした！！
○（2）の解説○
これは，どういうことでしょう？
2 / 13 ＝ 0. 1538461538461538 ‥‥
に戻ると，これって実は，
2 / 13 ＝ 0. 1538461538461538 ‥‥ ＝ 153846 / 999999
となっているということ．
ちなみに，
999999 ＝ 13 × 76923
です．
これを使うと，1 / 13 がどんな小数なのか分かります．
つまり，
1 / 13 ＝ 0. 0769230769230769 ‥‥
最初に 0 があるのをお忘れなく！
さて，本題に戻ります．
615384 を小数点以下に作るためには，
2 / 13 ＝ 0. 1538461538461538 ‥‥
に100000を掛けるはず．
100000 × 2 / 13 ＝ 15384. 615384615384615 ‥‥
＝15384 ＋ 615384 / 999999
これを利用して，615384 が 153846 の４倍になる理由を確認しましょう．
100000 を 13 で割ると，余りが 4 なので
100000 ＝ 13 ×商 ＋ 4
∴ 100000 × 2 / 13 ＝ 整数 ＋ 4 × 2 / 13
と分かって，
4 × 2 / 13 ＝ 615384 / 999999
∴ 4 × 153846 ＝ 615384
となっているのですね．
※補足※
「１の位の数が6であるような6桁の整数で，末尾の6を先頭に移動させて得られる整数が，元の整数の4倍になるものを１つ求めよ．」という問題でしたが，実は，この性質を満たす整数は 153846 だけです．
文字式を使って証明できますので，チャレンジしてみてください！
現代数学10月号．
毎月，数学者が表紙ですが，今月は「算学大名」．
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今回のネタは，この本にもっと詳しく書いています．
灘中の整数問題を，大人の整数論的に解説する斬新な本です．
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