今回も複素数の４つの観点
① 実部・虚部の計算
② 絶対値・共役の性質
③ 極形式の利用
④ 幾何的な考察
を思い出しておきます．
※z＝x + yiの共役複素数(x－yi)を，この記事では[z]と表すことにします．
|[z]|＝|z|，
arg[z]＝－arg z
です．特に，
1 / z＝[z] / |z|^2
∴ arg(1 / z)＝arg[z]＝－arg z
です．また，
[z±w]＝[z]±[w]，[zw]＝[z][w]
です．
そして，回転角について
∠βαγ＝arg{(γ－α) / (β－α)}
です．
αを中心にβを回転してγの向きにする角度（反時計回りが正）です．
さて，準備はこれくらいでＯＫでしょう．
前回は，②の観点で
Ｘ＝([β]－[α])(β－γ)([δ]－[γ])(δ－α)
と変形しました．
[β]－[α]＝[β－α]
なので，
arg([β]－[α])＝arg([β－α])＝arg(1 / (β－α))
です．
[δ]－[γ]も同じように考えると，argＸを考えることができそうです．
Ｘは実数だから，
argＸ＝０ または π (+2nπ)
です．前者なら正の実数，後者なら負の実数です！
さぁ，どっちでしょう？
argＸ＝arg{1 / (β－α)×(β－γ)×1 / (δ－γ)×(δ－α)}
＝arg{(δ－α) / (β－α)}＋arg{(β－γ) / (δ－γ)}
＝∠βαδ＋∠δγβ
＝π(+2nπ)
ということで，結論は
【負の実数】
でした！
ちなみにＸの値は，絶対値を考えたら
Ｘ＝－ＡＢ・ＢＣ・ＣＤ・ＤＡ
となることが分かりますね．
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