yoshidanobuo’s diary

「大学への数学」執筆者,吉田信夫の数学雑記ブログ

z^3 の偏角が,z の偏角の3倍だと思っていませんか?

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ド・モアブルの定理で,特に n=3 のとき,

  (cosθ+i sinθ)^3=cos(3θ)+i sin(3θ)

z=r(cosθ+i sinθ) (r>0)とおくと,

  z^3=r^3 {cos(3θ)+i sin(3θ)}

だから,

  z^3 の偏角は 3θ ‥‥(*)

ですね. と,思いきや・・・

(*)は本当に正しいですか??


偏角の定義を思い出してください!

z=r(cosθ+i sinθ) (r>0)と表されるとき,z の偏角

  arg z=θ+2mπ (m は整数)

であって,arg z=θではありません.
偏角の1つがθです.
偏角をθと置いているのではありません!!


では,z^3 の偏角

  arg (z^3)=3×arg z ‥‥(#)

でしょうか?


実は,(#)も,間違いです!!(と敢えて主張してみる)

なぜか?


  z^3=r^3 {cos(3θ)+i sin(3θ)}

と表せるので,z^3 の偏角の1つが3θで,

  arg (z^3)=3θ+2kπ (k は整数)

です.


一方,3×arg z はと言うと,

  3×arg z=3(θ+2mπ)

   =3θ+6mπ (m は整数)

です.


  3θ+2mπ,3θ+4mπ

もz^3 の偏角なのに,3×arg z では表せていないのです!


屁理屈のような話をしますと,

  arg (z^3)=arg z+arg z+arg z

と書くなら,大丈夫だと思います.

3つのそれぞれが,“+(偶数)π”を含んでいて

  arg (z^3)=(θ+2mπ)+(θ+2m'π)+(θ+2m"π) (m,m',m"は整数)

   =3θ+2kπ (kは整数)
  
とできるからです.
同じように見える3つの arg z が別のものという,少し奇妙な状況ですが.


でも,分かりにくい!!

極形式で考えて,その都度,偏角を考えるときに“+(偶数)π”をくっつける

・角度の範囲をはっきりさせて考える

という風に扱うのが良いですね.


ということで・・・

ド・モアブルの定理は,

  「極形式で,このような表示が可能」

という意味ですから,それを偏角の言葉に直すときには注意が必要になるのです.