ド・モアブルの定理で，特に n＝3 のとき，
(cosθ＋i sinθ)^3＝cos(3θ)＋i sin(3θ)
z＝r(cosθ＋i sinθ) (r＞0)とおくと，
z^3＝r^3 {cos(3θ)＋i sin(3θ)}
だから，
z^3 の偏角は 3θ ‥‥(＊)
ですね． と，思いきや・・・
(＊)は本当に正しいですか？？
偏角の定義を思い出してください！
z＝r(cosθ＋i sinθ) (r＞0)と表されるとき，z の偏角は
arg z＝θ＋2mπ (m は整数)
であって，arg z＝θではありません．
偏角の１つがθです．
偏角をθと置いているのではありません！！
では，z^3 の偏角は
arg (z^3)＝3×arg z ‥‥(#)
でしょうか？
実は，(#)も，間違いです！！（と敢えて主張してみる）
なぜか？
z^3＝r^3 {cos(3θ)＋i sin(3θ)}
と表せるので，z^3 の偏角の１つが3θで，
arg (z^3)＝3θ＋2kπ (k は整数)
です．
一方，3×arg z はと言うと，
3×arg z＝3(θ＋2mπ)
＝3θ＋6mπ (m は整数)
です．
3θ＋2mπ，3θ＋4mπ
もz^3 の偏角なのに，3×arg z では表せていないのです！
屁理屈のような話をしますと，
arg (z^3)＝arg z＋arg z＋arg z
と書くなら，大丈夫だと思います．
３つのそれぞれが，“＋(偶数)π”を含んでいて
arg (z^3)＝(θ＋2mπ)＋(θ＋2m'π)＋(θ＋2m"π) (m，m'，m"は整数)
＝3θ＋2kπ (kは整数)
とできるからです．
同じように見える３つの arg z が別のものという，少し奇妙な状況ですが．
でも，分かりにくい！！
・極形式で考えて，その都度，偏角を考えるときに“＋(偶数)π”をくっつける
・角度の範囲をはっきりさせて考える
という風に扱うのが良いですね．
ということで・・・
ド・モアブルの定理は，
「極形式で，このような表示が可能」
という意味ですから，それを偏角の言葉に直すときには注意が必要になるのです．
