数学を教える仕事を長くやってきたので，ちょっとは分かりやすく説明できるようになっているかな？という検証です（笑）
内容としては，これまでにもブログで２回紹介した，高校数学とは違う，大人の定義の活用についてです．
「収束」を雑に扱ってはならないということを真に理解するには，収束の「本当の意味」を知る必要があると思います．
高校生には少しハードなのですけど，教える側としては知っておきたい内容だろうと思います．
（注）大学１年生で学ぶ内容なので，「何を当たり前のことを・・・」と思われるかも．スミマセン．
まず，復習から．
「数列{a_n}が実数αに収束する」とは，
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どんな小さな正数εを固定しても，十分大きいｎについて，“常に”
|a_n－α|＜εが成り立つ
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ということ．
“十分”の部分を言語化しておくと
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どんな小さな正数εを固定しても，ある大きな自然数Ｎが存在して，
n＞Ｎとなる“すべてのｎ”について，|a_n－α|＜εが成り立つ
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ということになります．
この定義を使わないと，次の重要な性質も証明できません．
高校数学では，暗黙のうちに認めているものです．
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数列{a_n}がαに収束し，数列{b_n}がβに収束するとき，
数列{a_n＋b_n}がα＋βに収束する．
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これを，
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α，βを実数とする．lim a_n＝α，lim b_n＝βのときlim (a_n＋b_n)＝α＋β
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と書いても正しいですが，「収束」という条件を使って，「収束」を導くという意味が見えにくくなるような気がします．
言葉だけで書くと，
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収束する数列の和で表される数列は収束し，“和の極限値”は，“極限値の和”になる
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となります．
これを証明してみましょう．
＜証明＞
小さな正の数εを固定する．
十分大きいｎで“常に”
|(a_n＋b_n)－(α＋β)|＜ε
となることを示す．
まず，絶対値の性質から
|(a_n＋b_n)－(α＋β)|≦|a_n－α|＋|b_n－β|
が成り立つ．
次に，数列{a_n}がαに収束し，数列{b_n}がβに収束することの意味を思い出そう．
定義により，小さな正数としてε/ 2 をとっても，十分大きいｎで“常に”
|a_n－α|＜ε/ 2 ，|b_n－β|＜ε/ 2 ☜敢えてε/ 2 にしています！
となる．
よって，十分大きいｎで“常に”
|(a_n＋b_n)－(α＋β)|
≦|a_n－α|＋|b_n－β|
＜ε/ 2＋ε/ 2＝ε ☜ここで和がεになるようにしたのでした！
が成り立つ． （証明おわり）
【補足①】
途中で「ε/ 2 」をとったのは，最後を「ε」にするためでした．
【補足②】
“十分大きい”をキッチリやってみましょう．
数列{a_n}がαに収束し，数列{b_n}がβに収束するから，
ｎ＞Ｌのとき，|a_n－α|＜ε/ 2
ｎ＞Ｍのとき，|b_n－β|＜ε/ 2
となるような，大きな自然数Ｌ，Ｍが存在します．
Ｌ，Ｎの大きい方をＮと表すことにすると，
ｎ＞Ｎのとき，|a_n－α|＜ε/ 2 かつ |b_n－β|＜ε/ 2
が成り立ちます．
だから，
ｎ＞Ｎのとき，常に|(a_n＋b_n)－(α＋β)|＜ε
が成り立ちます．
厳密にやるのって，難しいですね・・・
でも，こうしないと，極限の色々な性質は証明できません．
高校数学では「認めよ！」という扱いです．
分かりやすく書けたつもりですけど，いかがでしょうか？？
続編では，もう少し高度な話をやってみようと思います．
少しでも「大人の定義」に親しんでもらえたら嬉しいです．
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