【大人の「収束の定義」 イプシロンεを使うヤツ】では，「αに収束」の定義を，「“αに収束”でない」から論理を使って構築しました．
写真の中央部です．
これを日本語だけで書くと，一番下のようになります．
イメージ湧きにくいかも知れません・・・
本当は図を使うなどして視覚化して説明すべきなのですが，お許しを．
また後日，この大学の定義を使って，高校数学では示せない，ある数列の収束を証明しようと思っています．
さて，最初の問い．
こちらの解説を以前はほとんど書きませんでしたが，必要性を感じたので，少し書いておこうと思います．
教科書の定義をしっかり読み取ると・・・
lima_nは「数列{a_n}の極限」を表しています．
つまり，
・実数αに収束するときは，α
・正の無限大に発散するときは，∞
・負の無限大に発散するときは，－∞
・それ以外のときは，存在しない
です．
収束するときだけ，極限値という言い方をします（∞は数値ではない！）．
数列がαに収束する
極限値がαである
は許されても，
極限値がαに収束する
では意味をなしていません．
だから，【②はNG】となってしまいます．
（日常的には，言ってしまうことはあるのですけど，厳密にはNGなのです）
②’：lina_nはαである
なら，何も問題ありません．
「収束する」の主語は，数列
「αである」ものは，極限
ということですね．
ちなみに，極限は，収束であっても，あくまで「限りなく近づかれる対象」なので，
④’：ｎ＝∞のときa_n＝α
といった書き方はダメです．
「lima_n」は，「限りなく近づかれる対象」を表しているから，
③：lima_n＝α
と書いても問題ありません．
細かい話ばっかりしていますが，数学を嫌いにならないでくださいね（笑）
こういう風に，言葉の厳密な使い方を追求するという遊び方もあるのが，「数学」です．
楽しみ方が無限に存在するのですね．
