yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう!ー

「大学への数学」執筆者・吉田信夫の数学探求ブログ(共通テスト系問題の研究報告)

このグラフが好きなんですよねぇ

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x=0 の周辺で,どこまでも周期を短くしながら振動.
しかし,-x≦y≦x の外には出られない.
この領域をほぼ埋め尽くすかのごとく,激しく振動します.
とはいえ,各 x に対して1点ずつしかグラフ上の点は無いので,拡大すると実はスカスカ.

x=0のときのy=0と定義しておくと,x=0で連続に.
(x→0のとき,y→0だから)

x を大きくしていくと,x→∞のとき,1/x→0だから,y→1.
なぜなら,θ→0のとき sinθ/θ→1の公式に従うから.
だから,x=0から十分に離れると,ほぼ横線のy=1で,これに漸近しています.

x=0のときy=0と定めつつ,x=0周辺で無限振動させつつ,xの指数を色々変えると

 y=sin(1/x)
 ☞ x=0で不連続,x→±∞でy=0に漸近

 y=x×sin(1/x)
 ☞ 今回のグラフ.x=0で連続だが,微分不可能,x→±∞でy=1に漸近

さらにx^2にすると

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 y=x^2×sin(1/x)
 ☞ x=0で微分可能,x→±∞でy=xに漸近(x×sin(1/x)→1だから?)

x=0周辺でペッタンコなグラフになって,微分可能になります.
短周期で振動するけれど,振れ幅が小さくなって,x=0ではy=0に接するくらい,つぶれています.

でも・・・y=x^2×sin(1/x)の特殊な性質については,また別の機会に.