6倍角の公式の元になるチェビシェフの多項式は T_6(x)＝32x^6－48x^4＋18x^2－1 でした．つまり， cos(6θ)＝32(cosθ)^6－48(cosθ)^4＋18(cosθ)^2－1 となるわけです．2倍することで 2cos(6θ)＝(2cosθ)^6－6(2cosθ)^4＋9(2cosθ)^2－2 となり，ちょっと嬉しい…

チェビシェフの多項式T_n(x)は， x^k (k≧2)の項の係数は，2^(k-1)の倍数になる のでした！漸化式を用いて数学的帰納法で証明しましたが，別の方法も考えてみましょう． ここで，複素数が再登場です！ T_6(x)＝32x^6－48x^4＋18x^2－1 を別ルートから考えます…

チェビシェフの多項式T_n(x)は，２次以上の部分は，すべて係数が偶数になっているのですね！ただし，ここに書かれているのはｎ≦６だけですから，ｎ≧７でもそうなっているのかは分からない！この法則は，本当にずっと続くのでしょうか？ さて，以下，T_n(x)を…

ド・モアブルの定理と二項定理で，ｎ倍角の公式を作るのは，けっこう有名かも知れませんが，これから内容を発展させていくなかで触れておきたいな，ということで． (cosθ＋i sinθ)^2＝cos(2θ)＋i sin(2θ) と (cosθ＋i sinθ)^2＝(cosθ)^2＋2i sinθcosθ－(sinθ…

漸化式＆帰納法バージョン n倍角の公式を表す多項式（チェビシェフの多項式）の係数の秘密① - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 漸化式を使って帰納法で示すのは，連鎖的な構造が分かって気持ちいいですが，「そのもの」…

チェビシェフの多項式は，グラフがピタッとしているから，気持ちいいですね．TはチェビシェフのTかと思いきや，Chebyshevがチェビシェフなので，違うんですね．三角多項式ともいうようなので，trigonometric polynomialのTかも知れません． poly＝多 ですね…

この計算を見て何を思いますか？ ｎ倍角の分母は 5^n っぽいですね！これは正しそうですか？ 加法定理を使えば，数学的帰納法で示せそうです．ですが， 既約分数としての分母が 5^n になるのか？ というのは易しくないように思います．いかがでしょうか？ 実…

∞シリーズはお楽しみいただけましたか？ ∞を１つの式で表してみた - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 今回は，∽のような曲線を１つの式で表す企画です．左は下半分，右は上半分（点線は気にしないでください）．各xに対…

真ん丸の眼鏡を最近買った私が，2円を合わせてできる∞を１つの式で表すという企画です．「∞は“眼鏡には無限の可能性がある”ことから作られた記号だよ」と説明すると，だいたいスゴイ空気になります（笑）さて，本題．あやしいのは，明らかに（１）です．複雑…

自信満々ではないですが，２），３）は接していないと思います．曲線と曲線が接するというのは，（微分できるという前提のもとでは）共有点で速度ベクトルを共有している状況であると思うのです．（多様体での接空間も，多様体の次元と同じだったはず） だか…

何となく解けているだけになっている人，けっこう多いかも知れませんよ． では，行間をすべて細かく見ていくことにしましょう． まず，本問は，実数aについての条件： 「y＝x^2に(0, a)から２本の接線を引ける」‥‥（＊） を「aの範囲」に書きなおす問題です…

私が書くなら，次のようにします． 【解】(t,t^2)[ を接点とすると接線は ・ における接線は ] y＝2tx－t^2 …① (0,a)を通る[ 条件は ・ から ] a＝－t^2 …② ②が異なる２つの実数解をもつ[ 条件は ・ から ] a＜0 ■ ですね． ２本の接線が存在する条件は，接…

「～の条件を求めよ」というタイプの問題で， ～であるから，●●である． という書き方をしてある解答を目にすることがあります． ～であることが分かっているときに何かを考えたいなら，「～であるから」で良いでしょう．あるいは， ～ならば●● を示したいと…

４次関数で平方完成して， (２次式)^2＋(１次式) という形にできることを紹介しました．その際，最後に残る１次式は， y＝(１次式) という直線を作ると，４次関数のグラフに２点で接する接線になるのでした．ただし，(２次式)＝０が異なる２つの実数解をもつ…

先日は，失礼しました．接線と見せかけて，実は接していないという・・・ 今回は，解と係数の関係ではなく，平方完成で y＝(x－α)^2×(x－β)^2+px+q の形を作ってみました． 幸い，αとβを解にもつ２次方程式で，判別式は正になるようです．ということは・・・…

例えば，y＝x^2-3x+1において，-3x+1の部分を取り出した直線 y=-3x+1 は，どんな直線でしょう？ y＝x^2-3x+1と連立すると x^2-3x+1＝-3x+1 という２次方程式が得られ，これは x^2＝0 ∴ x＝0（重解） です．図形的には，どういう意味でしょう？ そう，x＝0で…

２次関数などで同じような問題を解いたことはあるのではないかと思いますが，３次関数になっても解けるでしょうか？ 同じようなセリフを何回も書いてますな（笑） 今回は，関数を合成してみました．初見だと，ちょっと戸惑わないですか？ 正解は，【a＞0，b…

２次関数などで同じような問題を解いたことはあるのではないかと思いますが，３次関数になっても解けるでしょうか？ 前回も同じようなセリフを書いたような（笑）「漸近線に注目したら，d もすぐに分かる」という別解をいただき，悔しいので同じような問題で…

波の形 y＝sin x を回転させてみましょう！ 「x 軸」のまわりに回転させたら，「お団子が無限に連なる」ような形に． 「y 軸」のまわりに回転させたら，「同心のドーナツが大きくなりながら無限に連なる」ような形に． どっちも美味しそうですね（笑）「せっ…

y＝f(x)のグラフを，x 軸の周りに１回転して得られる曲面Ｓの方程式は？ 半回転すると，曲線 y＝－f(x) で，２つを合わせたら 曲線Ｃ：y^2＝{f(x)}^2になる． ここから「軌跡」の考え方です． 曲面Ｓ上に点 (x，y，z) がある ⇔ Ｃ上の点 (x，p，0) で，p^2＝…

不勉強のため，メジャーな方法なのかどうか分かりません・・・たまたま見かけた解法の紹介です． 5進法の 4321 は，10進法で 4×(5の3乗)＋3×(5の2乗)＋2×5＋1これを計算するのに，4次式 f(x)＝4x^3＋3x^2＋2x＋1を考えると，求める値は f(5) になっている！f…

図の２つは「x=0で極小値-1」と言ってよいのでしょうか？ 判断に困ったら定義を参照します！ あるx=aでの値f(a)が極小値であるとは・・・ ①aを内部に含むある区間において「f(a)＜f(x)」が成り立つことをいう． ②f(x)がx=aの前後で，「減少から増加に転じる…

私の答えは，①のみ△，②③は×です． ②③のような文を見かけることがあって，それがダメな理由を如何に説明できるか，と考えました． ＜①②③の主張の根拠＞ １）この関数は，x=0,-1,1でy=0という値を“とる”ことが分かります． ２）x=-1で極大値0，x=1で極小値0で…

上の四角には何が入るでしょう？ (a,b,cは実数) ３文字での相加相乗平均の大小関係： ( a + b + c )/3 ≧ (abc)^(1/3) ‥‥‥（＊）について，負の数を代入しても，不等式が成り立つことがあることを前記事で確認した．どんなときに成り立つのか？少し深堀してみ…

☝ この文は，とっても深い深いものですが，伝わるでしょうか？？ 指導者が雑な用語の使い方をするから，生徒は混乱しているのかも知れませんよ． そういう文章を見ることって多いですもんね． 関数・方程式，グラフ・曲線・・・ 教科書を読んでいると，色ん…

(a+b)/2≧√(ab) ‥‥‥① という有名な不等式があります．左辺・右辺がそれぞれa,bの，相加平均・相乗平均と呼ばれるので，「相加相乗平均の大小関係」などと呼ばれます． 左辺はどんな実数でも定義されますが，右辺はabが０以上のときしか定義できません． 不等…