上の四角には何が入るでしょう？
(a,b,cは実数)
３文字での相加相乗平均の大小関係：
( a + b + c )/3 ≧ (abc)^(1/3) ‥‥‥（＊）
について，負の数を代入しても，不等式が成り立つことがあることを前記事で確認した．
どんなときに成り立つのか？
少し深堀してみよう．
そのためには，証明に戻るのが近道となろう．
ふつうは「a ＞ 0 ，b ＞ 0 ，c ＞ 0 のとき（＊）が成り立つ」と書いてある．
その他のときにはどうなるか，触れていないはずである．
a ＞ 0 ，b ＞ 0 ，c ＞ 0 のときに成り立つことを示してみよう．
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
＝ ( x + y + z )( x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx )
という因数分解の公式において，
a^(1/3) ＝ x，b^(1/3) ＝ y，c^(1/3) ＝ z
とおくと，
a + b + c - 3(abc)^(1/3)
＝( a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3) )( x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx )
となる．右辺の後半は
x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx
＝ (2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx )/2
＝ { ( x - y )^2 + ( y - z )^2 + ( z - x )^2 }/2
≧0
を満たす．x＝y＝zのときに等号が成り立ち，
x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx ＝ 0
よって，a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3) ≧ 0 のとき
a + b + c - 3(abc)^(1/3) ≧ 0
( a + b + c )/3 ≧ (abc)^(1/3) ‥‥‥（＊）
が成り立つ．
特に，a ＞ 0 ，b ＞ 0 ，c ＞ 0 のときは（＊）が成り立つ．
ということで，a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3) ≧ 0のときは，（＊）が成り立つことが分かった．
a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3) ＜ 0 であっても，a ＝ b ＝ c のとき，(＊)は成り立つ（等号が成立）．
a^(1/3) + b^(1/3) + c^(1/3) ＜ 0 で，「 a ＝ b ＝ c 」以外のとき，(＊)は不成立．
これで完璧に整理できた！
数Ⅱと言えば，コレ（しつこい）
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