波の形 y＝sin x を回転させてみましょう！
「x 軸」のまわりに回転させたら，「お団子が無限に連なる」ような形に．
「y 軸」のまわりに回転させたら，「同心のドーナツが大きくなりながら無限に連なる」ような形に．
どっちも美味しそうですね（笑）
「せっかくなので式で表そう」というのが，今回の企画です．
前記事で，この理論を，軌跡でガチガチに説明しました．
改めて，少しゆるく説明してみます．
グラフ上の点（k，f(k)，0）を x 軸のまわりに１回転すると，次の円が得られます．
y^2 + z^2 = { f(k) }^2 かつ x = k
このような円をあらゆる k について集めたものが回転体．
{（x，y，z）| y^2 + z^2 = { f(k) }^2 かつ x = k }
つまり
{（x，y，z）| y^2 + z^2 = { f(x) }^2 }
よって，回転体の方程式は
y^2 + z^2 = { f(x) }^2
です．
だから，機械的にやると，
| y | を 
に書き換える
ということになるのでした．
絶対値だから０以上の値でないといけないのでした．
だから，y = f(x) ではなく，半回転して得られる曲線と合わせた曲線
y^2＝{ f(x) }^2
を利用して，置き換えるのでした．
結局，ｘ軸のまわりの回転で得られる「無限お団子」の方程式は
y^2＋z^2＝(sin x)^2
となります．
では，ｙ軸のまわりだったら？
| x | を 
に書き換える
だけでOKです．
けれど，実際にやってみると，絶対値を作り出すのがメンドクサイことに気付きます．
sin x は sin(-x) = －sinx という特殊な性質があるので，比較的楽に処理できて，
y^2＝(sin { })^2 ‥‥①
という形にまとめることができます．
詳細は，ぜひ，考えてみてください．
①の式が，無限に連なるドーナツを表しているなんて，なかなかイメージできないですね．
「式の意味的にそうなっているのだから，そうなんだろう」という達観した視点も，数学においては必要になりますね．
