何とコレ，予想通り等差数列の和の公式なのですね．
より詳しく言うと，等差数列の和も計算できる公式．
意味を説明していきます．
※「aとdの定義を書いていないから，問いとして不成立」というご指摘はナシでお願いします．
それにしても，意味不明ですよね（笑）
公式の意味を探るのに，シグマを消去してみましょうか．
和の数列{S_n}と数列{a_n}の関係
a_1＝S_1
a_n＝S_n－S_(n-1) (n≧2)
を使ってみてください．
計算は端折りますが，n＝1のときとn≧2のときのそれぞれから，
(a_(n+1))^2＝(a_n＋d)^2 （n≧1） ‥‥①
が得られます！
何と，等差数列の漸化式の両辺を2乗したもの！
しかし，①では数列は１つには定まりません．
“各 n について，”
a_(n+1)＝a_n＋d または －(a_n＋d)
が成り立つ数列なら何でも①を満たすからです．
例えば，a＝1，d＝2とします．
①を満たすような数列の１つに等差数列
1，3，5，7，9，11，13，15
がある，ということ．
“すべての n ”で
a_(n+1)＝a_n＋2
になるものです．
“すべての n ”で
a_(n+1)＝－(a_n＋2)
となる数列もあって
1，-3，1，-3，1，-3，1，-3
です．これも①を満たしています．
それ以外にも①を満たす数列はあります．
例えば，
1，3，-5，-3，1，3，5，7，-9
です．
a_2＝a_1＋2
a_3＝－(a_2＋2)
a_4＝a_3＋2
a_5＝－(a_4＋2)
a_6＝a_5＋2
a_7＝a_6＋2
a_8＝a_7＋2
a_9＝－(a_8＋2)
とランダムに“各n ”でどちらかの関係が成り立っています．
次の数は，
7 または -7
です．
この数列でも，和の公式を使って足し算できるはずです！
1＋3＋(-5)＋(-3)＋1＋3＋5＋7＋(-9)＝3
が公式でも求まるか？
「理論上は，求まるはず！」と思っても，ドキドキします．
{(±7)^2-1}/4－2×9/2
＝48/4－9＝12－9
＝3
確かに！！
「絶対にこうなる」と思っていても，本当にそうなると嬉しいものです！
そんな爽快感こそが数学の醍醐味でしょうね．
