y＝f(x)のグラフを，x 軸の周りに１回転して得られる曲面Ｓの方程式は？
半回転すると，曲線 y＝－f(x) で，２つを合わせたら
曲線Ｃ：y^2＝{f(x)}^2
になる．
ここから「軌跡」の考え方です．
曲面Ｓ上に点 (x，y，z) がある
⇔
Ｃ上の点 (x，p，0) で，p^2＝y^2＋z^2となるものが存在する
という言い換えができるのがポイントです．
(x，0，0) の周りに (x，p，0) を（適当に）回転させて，
点 (x，y，z) が得られる
と考えています．
x 軸の周りに回転させて (x，y，z) になるような
Ｃ上の点 (x，p，0) が存在する
と言っても同じです．
|p|＝{y^2＋z^2}^(1/2)
という形で，パラメータ p を y，z で表すことができる．
「このときの点 (x，p，0) がＣ上にあること」が，「曲面Ｓ上に点 (x，y，z) がある」条件になる．
よって，Ｓの方程式は
y^2＋z^2＝{f(x)}^2 ■
【例】
f(x)＝{1－x^2}^(1/2)，つまり，半円のとき，半回転と合わせた曲線は
y^2＝1－x^2
で，円．
これを x 軸の周りに１回転して得られる曲面は，|y| を {y^2＋z^2}^(1/2) に書き換えて
y^2＋z^2＝1－x^2
つまり，球面：x^2＋y^2＋z^2＝1
【例】
f(x)＝x/2，つまり，直線のとき，半回転と合わせた曲線は
y^2＝x^2/4
で，２直線．
これを x 軸の周りに１回転して得られる曲面は，|y| を {y^2＋z^2}^(1/2) に書き換えて
y^2＋z^2＝x^2/4
これは，円錐の方程式になっている！
（注）
この方程式は，「母線（x軸）方向のベクトル (1，0，0) とベクトルＯＰのなす角θが|cosθ|＝2／√5となる点Ｐの軌跡」と見ても作ることができます（厳密にはＯの扱いが少し厄介）．
つまり，内積を用いて立式できます．
