図の２つは「x=0で極小値-1」と言ってよいのでしょうか？
判断に困ったら定義を参照します！
あるx=aでの値f(a)が極小値であるとは・・・
①aを内部に含むある区間において「f(a)＜f(x)」が成り立つことをいう．
②f(x)がx=aの前後で，「減少から増加に転じる」ことをいう．
③aを内部に含むある区間において「f(a)が最小値」であることをいう．
色んな定義があるじゃないか！？ と突っ込みたくなるというのが，今回のテーマです．
①が狭義の極値．
広義になると，③のように「最小値」で定義します．
大学では，②のように増減で定義することはないようです．
高校数学では・・・何と！
「連続関数」という仮定がつくようです．
つまり，不連続なときは，極値が定義されないのです！
図の２つの関数はx=0で連続ではないから，極小値とは言えないようです．
大学の定義と高校の定義が違うのですね！！
③で定義すると，y=1のような定数関数は，すべての点で極値をとることになります．
これは避けたいですね．
だから，高校数学では
①’
連続関数f(x)であるx=aでの値f(a)が極小値であるとは，aを内部に含むある区間において「f(a)＜f(x)が成り立つ」となることをいう．
を採用することが多いようですが，教科書によっては②’（つまり，②かつ連続）を定義に用いていることもあるようです．
図の１つ目：
大学の定義
①☞極小値！
②☞極小値！
③☞極小値！
高校での各定義☞極小値でない
図の２つ目：
大学の定義
①☞極小値！
②☞極小値でない
③☞極小値！
高校での各定義☞極小値でない
他に，例えば，y=|x+1|+|x-1|なども，「x=0でのy=2」が極小値かどうか，定義によって変わります．
グラフは次のような感じです．
＼＿／
-1≦x≦1で平らになります．
最小値で定義する③の場合は極小値ですが，②増減や①f(a)＜f(x)による定義では極小値になりません．
たかが極値と侮るなかれ．
高校と大学で定義が違う
高校でも教科書によって定義が違う
という，とっても変わった現象が起きているのです．
出題する大学の先生にとっての極値が，高校生にとっては極値ではなかったりするのです．
そういう危険領域に入る問題は見たことがないので，たぶん大丈夫だと思いますけどね．
では，連続を仮定する高校数学では，
②増減による定義
①f(a)＜f(x)による定義
は，同じなのでしょうか？
教科書によって，書き方が違うだけで，同じことを言っているのか？
それとも，定義そのものが違っているのか？
またこの辺も探っていきましょいう．
