この答案，どのように思われますか？
満点をあげますか？
それとも，どこかに良くないところがありますか？
あるとしたら，①～⑦のうちのどこでしょうか？
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実は，⑤がダメなんですが，理由は分かるでしょうか？
また，どうすれば認められる答案になるでしょうか？
例えば，数列{a_n}が
a_(2m-1)=π，a_(2m)=0 (m=1,2,3,・・・)
で定義されているとしましょう．すると，
lim(n→∞)a_n は存在しない
ですが，
sin(a_n)=0 (n=1,2,3,・・・)
∴ lim(n→∞)sin(a_n)=0
です．
④は問題ないですが，ここから⑤，つまり，
{a_n}は収束し，その極限値が 0 または π
という主張はどうでしょう？
上記のように，④であるが⑤でない例が存在しています！
ということで，ダメなのは⑤です．
では，⑤が無かったら，どうなるでしょう？
そうなんですね．
⑤が無いだけで，認められる答案に変わります．
lim(n→∞)sin(x_n)=0
π/2＜x_n＜π
から，
lim(n→∞)x_n=π
つまり，
n→∞のとき数列{x_n}は収束し，極限値は π
が分かります．
細かくいうと，f(x)=sinx (π/2＜x_n＜3π/2)の逆関数の連続性を使っています．
①②③④⑥⑦だけならOKなんですが・・・
「0じゃないことを言わねば！」
という意思を，⑤の形で書いてしまうのがダメなんです．
イメージを正しく伝えるための，正しい言葉は，数Ⅲにおいてはかなり重要なのですね．
収束は証明するもの！
丁寧に扱いましょう．
