微分方程式は，好きですか？
導関数と元の関数が満たす関係式を見て，どんな関数なのかを考えるのですね．
導関数は
lim(f(x+h)-f(x))/h
ですから，差をとっているのですね．
階差数列みたいなものなのですよね．
関数での微分が，数列での階差
数列での和は，関数では・・・そう，積分ですね！
昨日，漸化式のちょっと変わった解法を紹介しました．
①漸化式で，
②特性解を求めず，
③階差をとり，
④階差数列が分かっても
⑤Σを計算せず，
⑥連立で
⑦一般項を求める．
これを関数化すると，どう翻訳されるでしょう？
①微分方程式で，
②特殊解を求めず，
③微分し，
④導関数が分かっても
⑤積分をせず，
⑥連立で
⑦関数を求める．
なるほど，こういうことですね！
やってみましょう！
この微分方程式，ふつうは，どうやって解くのでしょう？
漸化式での，
①特性解を見つけ，
②差を取って，
③等比型の漸化式を作り，
④初項の条件から一般項を求める
という流れを意識しながら見てください．
①１次式に特殊解があることを見抜き，
(ax＋b)'＝2(ax＋b)＋x
からa，bを求めます．
0＝2a＋1 かつ a＝2b
∴ a＝－1/2，b＝－1/4
と分かります．
② f'(x)＝2f(x)＋x
(ax＋b)'＝2(ax＋b)＋x
の差をとって，
③ {f(x)－(ax＋b)}'＝2{f(x)－(ax＋b)}
となるから，
f(x)－(ax＋b)＝Aexp(2x)
④f(0)＝2からAを求めたらOK
例の漸化式の解法とそっくりですね（分かる人限定でスミマセン）
微分方程式を解くときには，同値性も意識しておく必要があります．
ちょっと確認しておきますね．
一般に，
f(x)＝g(x)（恒等式）
⇔ f'(x)＝g'(x)（恒等式）
かつ f(a)＝g(a)（あるaで成り立つ関係式）
です．
だから，微分を繰り返すときは，初期条件を添えながら同値変形します．
一方，今回の方法は，
f(x)＝g(x)
⇔ f(x)＝g(x) かつ f'(x)＝g'(x)
⇔ f(x)＝g(x) かつ f'(x)＝g'(x) かつ f"(x)＝g"(x)
という同値変形になっていますね．
連立，サイコーーー！！
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微分方程式でも色んな本があるのですね．
