(a+b)/2≧√(ab) ‥‥‥①
という有名な不等式があります．左辺・右辺がそれぞれa,bの，相加平均・相乗平均と呼ばれるので，「相加相乗平均の大小関係」などと呼ばれます．
左辺はどんな実数でも定義されますが，右辺はabが０以上のときしか定義できません．
不等式が意味を成さないのは，「a,bが異符号のとき」です．
では，不等式が成立するのは，どんなときでしょう？
教科書には，「a,bが正のとき①が成り立つ」と書かれています．
a,bがともに負のときは，左辺が負で，右辺が０以上だから，①は不成立．
一方が0のときは？右辺は0になるから，他方が0以上のときに成り立ち，負のときは不成立．
これらをまとめると，①が（定義され，しかも不等式が）成り立つのは「a≧0かつb≧0のとき」となるのです．
教科書に書かれている範囲を含んでいますね．
では，３数についての相加相乗平均の大小関係は，どんなときに成り立つのでしょう？
(a+b+c)/3≧(3)√(abc) ‥‥‥②
※右辺は３乗根
a,b,cが0以上のときは，②が成り立ちます．
②の右辺は，３乗根なので，どんなabcであっても定義されます．
先ほどの①よりも検討すべきものがかなり多そうです・・・
負の数が入っても，②が成り立つことがあります．
例えば，a=-1,b=2,c=5のときはどうでしょう？
右辺は負の数で，左辺は正の数だから，②は成り立ちます．
他には，a=-1,b=-1,c=8のときは，どうでしょう？
左辺は2で，右辺は，何と？こっちも6で，等号が成り立ちますね！
だから，②は成り立っています．
では，a=-1,b=-2,c=4のときは，どうでしょう？
左辺は1/3で，右辺は2だから，②は成り立たないようです．
どんなときに②は成り立つんでしょうね．
分かった方，コメントにでもどうぞ．
数学Ⅱの，思考・判断・表現力を磨く本といったら，これしかないですね（笑）
自信作です！！
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