この答案，どのように思われますか？ 満点をあげますか？ それとも，どこかに良くないところがありますか？あるとしたら，①～⑦のうちのどこでしょうか？＊＊＊＊＊＊＊＊実は，⑤がダメなんですが，理由は分かるでしょうか？また，どうすれば認められる答案に…

【入試問題紹介】出題者の意図は，いったい・・・ 2021年の某大学の入試問題です． 問題文が分かりにくかった，と受験した生徒（合格！）に言われました．集合を使って書いたり，論理構造を問うようにすると，混乱してしまう人がかなり多くなると思います． …

こんな問題でしたね． ＊＊＊＊＊ 以下の問いに答えよ。 (1) 正の奇数 K,L と正の整数 A,B が KA=LB を満たしているとする。 K を 4 で割った余りが L を 4 で割った余りと等しいならば、 A を 4 で割った余りは B を 4 で割った余りと等しいことを示せ。 (2…

「場合分け」のこと，実はあんまり分かっていないかも知れません．２つの場合分け，区別できていますか？ 問．aを実数の定数とする．2次関数 f(x)＝x^2－2ax の 0≦x≦1 における最小値を求めよ． 解．f(x)＝(x－a)^2－a^2 だから・0≦a≦1 のとき，最小値はf(a)…

普通は，平方完成して最大値を求め，因数分解して２次不等式を解くのですけど・・・共通テストでは，数字が大きくなってしまうのが厄介なんですよね． 定石的で汎用性の高い解法は，いつでもどこでも使えるけれど，個別の問題において最適な解法とは限らない…

置換積分って，合成関数の微分を利用して公式を作って，それ以降は機械的に計算するだけのものになっていませんか？そんな方には次の写真を送ります． 区分求積が定積分（面積）の定義だと思っていませんか？実はそうではないのです．本当は，リーマン和とい…

１／３１に行われた大学入学共通テスト・数学ⅠＡです．中間発表での平均点が３５点！驚きです．そんなに難しいのでしょうか？僕は４７点くらいになると予想していて，第１日程の５５．６点（中間発表）よりは低くなりそうと思っていましたが，ここまでとは．…

楕円のことを，円を使って考えたい．誰もが考えることですが，１次変換が高校数学にない今，何かよい考え方はないものか？と考えたわけです． 【円と直線の２交点をつなぐ線分の中点の軌跡① ～直線が平行に動くとき～】 円の中心と線分の中点をつなぐ直線が…

【東大実績を伸ばし続ける「西大和学園」】図において，角BAC=90°,AB=ACである．角ACD=30°,角ABD=15°のとき，ACとCDの長さの比を最も簡単な整数比で表せ． ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝答えは「１：１」と分かるのですけど・・・導く…

※問題はお手元にあるという想定です！ 『総評と凡例』 高度な知識があれば一瞬で解ける問題が多い（第１問〔１〕，〔２〕，第２問，第５問）→知識で解く方針での指導に偏らないように注意したい！選択式の問題が多く，計算量が恐ろしく少ない→グラフや大小関…

※問題はお手元にあるという想定です！『総評と凡例』 計算の負担は軽減，読解の負担増，出題の意図を読み取って“論点を絞り込む”ことが重要．会話は，“無条件で使ってよい情報の提供”“重要なヒントの提示”にのみ使われ，「議論を深める」系は無かった．知識…

灘中の算数、二日目。 http://www.yotsuyaotsuka.com/kaitou-sokuhou/pdf/2021_nada_math_2_q.pdf 問題は四谷大塚さんのところにありました．しかし，難しいですよ．“さんずい”に“むずかしい”で“灘”ですからね．難し過ぎて涙を流すくらいだ，という意味かも…

やっと灘中一日目の算数を解き終えた。 やはり計算ミスしてしまう 方程式で解けるのが多いのが最近多いような気がします。僕にはありがたい(笑) 【３】【５】【６】【７】【８】【９】はそのまま大学入試になりそうです。 【６】は面白いけれど、灘中受験生…

左辺はすべて同じです． 右辺の数値がちょっと変わると，図形はどう変わる？ かなり大胆に変化します（笑） これらが何であるか，定性的にとらえてパッと分かれば，プロですね． グラフ描画ソフトを使って書かせても面白いです！なぜその図になるかを考える…

こんなことを考えていても役に立たないと思っていましたが，授業中の話の流れで高校１年生に発表することになりました（笑）やってて良かった．ということで，ブログでもご紹介．かなり定性的なアプローチですので，想像力をもって読んでもらえたらと思いま…

２回連続で，禅問答のようなタイトル（笑）求める和も同じです．違うのは，漸化式． a_n=n*3^(n-1) (n=1,2,3,‥‥) のとき，a_nは等差数列×等比数列なので， ①等差数列で割ったら，等比数列 ②等比数列で割ったら，等差数列 です． ①からは，数列{a_n/n}が公比…

禅問答のようなタイトル（笑）等差数列×等比数列のタイプは，和を求める流れが確立されています． a_n=n*3^(n-1) (n=1,2,3,‥‥) のとき， S_n=1*1+2*3+3*3^2+‥‥+n*3^(n-1) 3S_n= 1*3+2*3^2+‥‥+(n-1)*3^(n-1)+n*3^n で，２式の両辺の差を計算すると -2S_n=1+3+…

極方程式 r=cosθ＋2 は何を表しているでしょうか？単なる x=rcosθ，y=rsinθ というパラメータ表示ですね．極座標のときはr≧0としますが，極方程式のときはr<0も許容します．θに偏角という図形的な意味があるのが面白いのです． θを消去すると，x,yの方程式に…

今日は１２／２５．世間ではクリスマスですが，私にとってはクリスMATHです（笑）クリスMATHプレゼントを用意していますので，お楽しみに．そうそう，共通テストが近づき，拙著の売れ行きが好調のようです．ありがとうございます．お持ちでない方は，こちら…

(★)は，確かに外接円を表しています． １）式の形から，円，直線，または，1点，または，∅ ２）ｚ＝α，β，γのとき(★)が成立 の２つから分かります．２）から，１）は円に決まり，３点を通る円は外接円しかないので，(★)は外接円を表す式であるしかありません…

公式の発見が止まらないです（笑）この公式を知っていた人も，「知ってたよ」「しょうもな」とか思わないでくださいね．「やっと吉田くんも私のところまで追いついてきたか．でも，まだまだだね」くらいにしておいてください（笑）どうぞ温かい目でご覧くだ…

問 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊１辺の長さが１の正三角形ABCがある．三角形ABCの外接円の周上に点 P をとるとき， AP^2＋BP^2＋CP^2の値を求めよ． ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊…

先日，ある動画をキッカケに考えていて，こんな公式を作っちゃいました！ どうでしょうか？見たことはありますか？もちろん，２Rを導く正弦定理を途中で使いますが，外接円とは関係ない量です．実は，三角形ABCの垂心をHとすると， AH＝a|cosA| / sinAとなる…

重箱の隅の隅の隅ばかり突いていて，頭がおかしい人だと思われそうですが（笑）定義に従って議論を進めて奇妙な結論になるからといって，感情的にそれを排除するのは良くないだろうと思います．ということで，そんな例を紹介しています． 全体集合をＵとして…

先日の記事 同値記号を使って証明を書く - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー ですが，Facebookで画像とちょっとのコメントだけ公開していました．インスタと同内容です． https://www.instagram.com/p/CIcZkaalsx0/ これに…

AP＝2BPを満たす点Pの軌跡は円になることが知られており，アポロニウスの円と呼ばれるものの１つです．これを満たす点として，線分ABを2:1に内分する点，外分する点があって，これらを含む円になるはず．しかも，これらが直径の両端になるのでした．（内角・…

以前は同値記号⇔をよく使っていました．学生の頃は一切使っておらずでしたが，この仕事について初めて使うようになりました． 何も考えずに使っている時期もありましたが，よくなかったなぁ，と反省しています．当時は，条件と命題の違いも言語化できていな…

イギリスの数学問題集を見ていたら・・・ 帯分数って，日本の小学校限定のものだと勝手に思い込んでいました．そうじゃないんですね！？イギリスにもありましたよ．しかも，中学生くらいがやる問題に．日本では，中学で負の数が出てきたり，無理数（円周率と…

2次関数のグラフCのｘ座標がa,bである2点A,Bをとります．A,BにおけるCの接線の交点Pは，x座標が(a+b)/2の点であることが知られています（接線の方程式を連立）．ちょうど真ん中で交わります．図の①：①です．また，直線ABと放物線Cで囲まれる部分の面積は，(b…

方程式１つで領域を表すシリーズも，ここまで来てしまいました（笑） |x-1|+|x-2|=1が1≦x≦2を表すことは何度も紹介しました．右辺は，2-1の1です．これを応用しまくると， |y-f(x)|+|y-g(x)|=f(x)-g(x)に自然に到達しますね（ぼくだけ？）． f(x)≦y≦g(x)とい…