高校生や大人にも解いてもらいたい！ 面白い図形問題 ＠2021関西の中学入試算数

【東大実績を伸ばし続ける「西大和学園」】
図において，角BAC=90°,AB=ACである．角ACD=30°,角ABD=15°のとき，ACとCDの長さの比を最も簡単な整数比で表せ．

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答えは「１：１」と分かるのですけど・・・導くのが難しかった．

＜大人のごり押し解法①＞

→西大和の中３に見せたら，「こんなことやるヤツは居ない」と言われる（笑）

＜大人のごり押し解法②＞

→15°のサイン，コサイン，タンジェントを求めるときに使う方法の応用．
　できれば三平方の定理を使わずにやりたい・・・

＜これと同じ図形だから，これだ①＞

→あの形を知っていて、その形と一致するから、これで良し、という論法
　導いていないのがポイント！

＜これと同じ図形だから，これだ②＞

→折り紙が好きな人はすぐに思いつくのだとか！
　上の図よりもこちらを思い出す生徒の方が多い．



【聖武天皇に所縁のある，奈良県No1の学校と言えば「東大寺学園」】

BC=5の平行四辺形ABCDにおいて，CD上に点Fをとり，直線AFに関するDの対称点Eをとる．２直線AC,BEの交点をGとすると，角FAG=45°,角ACB=60°となった．

(1) 角DAEを求めよ．

(2) 三角形AEDの面積を求めよ．

(3) 三角形GCE,GABの面積の比が6：11であるとき，この２つの三角形の面積の和を求めよ．

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かなり考えました．
B,G,Eは一直線上ですが，Dはその直線上ではありません．

(1)(2)は易しいと思いますが，敢えて問われているということは，続く問題のヒントになっているということ．
(1)の30°を使って，(2)の面積を出しています．正三角形を半分にして得られる直角三角形と見たら，斜辺と高さの比が2:1になることが分かります．これを使って高さを出せます．
(3)が難しい・・・どこから手を付けてよいやら．
「三角形AEDの何倍か？」と考えることだけは分かるのですけど．

これは東大寺中３生に解いてもらったときの板書です（(3)は全員詰まっていました）．
「三角形AED＝⑤だよ」と伝えるだけで，何人かは解けてしまいました！流石！
　　　⑤＋⑥＝⑪
だからですね．
「三角形GBCをくっつけてみる」が当たりです．

　　　三角形GAB+三角形GBC＝平行四辺形の半分

　　　三角形GCE+三角形AED+三角形GBC＝平行四辺形の半分
　　（BC,ADを底辺として，高さの和が，平行四辺形の高さと一致するから）

から，

　　　三角形GAB＝三角形GCE+三角形AED

が導けるのです．
　　　⑤＝25/4　∴　①＝5/4
となって，答えは
　　　⑰＝85/4=21.25

 

【関西女子校の最高峰「神戸女学院」】

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これもかなり困りました．
複素数平面で考えて回転を利用して，全部の座標を出してしまおうか，とか（笑）

＜メネラウスの定理などを駆使して，大人のごり押し解答＞

→ツライ・・・

＜実は，回転が“肝”だった！！＞

→こう見ることができたら，(2)の方が易しい！！


算数ってどんなイメージでしょう？
三平方を使ってはダメとか，座標を使ったら反則とか，そういう感じに思っているかも知れません．
でも実は，そんなもんじゃなくて，手段を選ばず１つ１つの問題と向き合っていく戦いです．

知っているものだったらためらうことなく知識で解く（西大和）し，
くっつけるという定石解法が思い出せずに悔しい思いをする（東大寺）し，
１つの視点の変更で一気に世界が開ける（神戸女学院）し．

高度な中学入試算数を経験している人にとって，共通テストの「思考・判断・表現」問題なんて，何の苦労もないほど易しく感じるようです．
「手段を選ばない」「できるだけ楽な方法を」という感覚が大事なのでしょうね．

〔拙著からのオススメ〕
❶そういう問題をたくさん集めました！
　　　　
※灘中，算数オリンピックから，東大まで

❷受験算数エリートたちは数学とどう向き合っているか？
　　　　
※本の中ではA校と書いていますが，もちろん，あの学校のことです（笑）
　❶でも，その中学の問題をたくさん取り上げています．