「有理数」と「有理数」の和は，必ず「有理数」「有理数」と“無理数”の和は，必ず“無理数” しかし， “無理数”と“無理数”の和は，「有理数」であることも“無理数”であることも． 数直線上にある「有理数」と“無理数”．いずれも無数に存在するけれど，「有理数…

置き換えたら２次式になるタイプだ．範囲をしっかり考えよ！置き換えたものが２次方程式でも２次関数でも，ほとんど同じだ！ ってやってしまうのですけど・・・ むっちゃ細かく見たら，ぜんぜん違う問題なのではないか？※こうやって解くべきだ，と言いたいの…

統計が必須になる時代． 数表と仲良くなっておくことは大事ではないかと思います． また，GIGAスクール構想で1人1台端末． 問題解決にしっかり使えるように，思考してもらいたいなと思います． そんな時代になっても， 「両辺を２乗すると・・・」 という解…

クラインの壺ってご存じでしょうか？ 時間を自由に行き来できる「輪っか」を，あなたは持っているとします．その輪っか（円）を過去に向かって投げてみます．その円はブーメランのように旋回して，過去から現在に戻ってきます．投げ出したところで円をキャッ…

甲陽学院中学の算数の入試問題です．（イラストはイメージです．「いらすとや」さんのイラストがかわいい（笑）） 文字をたくさん使って強引にやれば良い！と思っても，そう簡単にはいかない！ 条件の１つが不等式というのが厄介です． つまり，文字で置いて…

教科書の漸化式に関する部分に，次のような記述があります． 【漸化式がa_(n+1)=a_n+(nの式)の形のとき，階差数列を利用する方法で，一般項が求められることがある．】 何とも意味深な書き方です． 求められることがある． では，求められないこともあるのか…

数学の教科書には様々なカンマが登場します． 同じように見えて，異なる意味で使われています．もしかしたら，これが，数学を分かりにくくする原因の１つになっているのかも知れません．数学の先生は，過去の経験をもとに当たり前のようにカンマを使い分けま…

実数xについて [1]x^2＝1を解くと，x＝1とx＝－1 [2]x≧－1とx≦1を満たす条件は－1≦x≦1 [1]は，解の集合{－1，1}において，「要素は1と－1である」と言っています．解xについて x＝－1 または x＝－1が成り立つということです． [2]は，「x≧－1の範囲」と「x≦…

※本稿は，高校数学における空集合の扱いについて考察するものです． 公理的集合論については，考えません！ n(Ａ∪Ｂ)＝n(Ａ)＋n(Ｂ)－n(Ａ∩Ｂ)が常に意味をなすためには，要素の個数が０である集合が必要になる．そうして定義された空集合は，あらゆる集合の…

なかなか素敵なグラフが描けました． １つの式なのに２つに分岐して，それぞれが反比例のグラフ上にあります． 詳細は後ほど． その前に簡単に基本の確認から． まず，ガウス記号[ ] 実数xに対して， [x]＝(x以下の最大の整数) と定め，xの整数部分と呼びま…

漸近線とは？ Wikipediaには 解析幾何学において、平面曲線の漸近線（ぜんきんせん、英: asymptote）とは、十分遠くで曲線との距離が 0 に近づき、かつ曲線と接しない直線のことである。通常の定義では、漸近線は曲線と無限回交わってもよい。 漸近線は存在…

色んな発想する人が居ますよね．例えば・・・ ３次方程式 x^3-7x+6=0 の解は (x-1)(x-2)(x+3)=0 と因数分解することで x=1,2,-3 と求まるのですが・・・ x*x^2-7x+6=0 と見て，２次方程式の解の公式を使ったらどうなりますか？ という質問をされました（最初…

【やはり，⇔は嫌いだ！】 条件と条件を，軽々しく「⇒」や「⇔」でつなぎたくなる人，居ませんか？お願いです． 使う前に，ぜひ，一歩踏みとどまってください． 写真にはあのように書きましたが，本当は，明記された全体集合を優先して，「Ｐの条件」として捉…

「方程式」と「媒介変数表示」と「ベクトル方程式」 図形を等式で表すとき，言葉がけっこう錯綜します． グラフとは…関数y=f(x)に対して定義されるもので，点集合{(p,q)|q=f(p)}のこと 図形の方程式とは…図形を点集合{(p,q)|p,qに関する条件…(*)}と表すとき…

【増刷！】 みなさまのおかげで、拙著「ほぼ計算不要の思考力・判断力・表現力トレーニング 数学IA」が増刷になります！ありがとうございます 三刷だと思います 授業のネタにしていただいているという先生の話を聞いたり、 正規の教材として学校採用していた…

今回は小ネタです．数値に対する感覚は，今後の共通テストでも問われるでしょうし，世の中に出てからも役に立つ感覚になると思います．数字のマジックに騙されないようにしましょう！ ところでご存じですか？三角比の表のsin 1゜の欄には，0. 0175とあります…

【入試問題紹介】出題者の意図は，いったい・・・ 2021年の某大学の入試問題です． 問題文が分かりにくかった，と受験した生徒（合格！）に言われました．集合を使って書いたり，論理構造を問うようにすると，混乱してしまう人がかなり多くなると思います． …

「場合分け」のこと，実はあんまり分かっていないかも知れません．２つの場合分け，区別できていますか？ 問．aを実数の定数とする．2次関数 f(x)＝x^2－2ax の 0≦x≦1 における最小値を求めよ． 解．f(x)＝(x－a)^2－a^2 だから・0≦a≦1 のとき，最小値はf(a)…

普通は，平方完成して最大値を求め，因数分解して２次不等式を解くのですけど・・・共通テストでは，数字が大きくなってしまうのが厄介なんですよね． 定石的で汎用性の高い解法は，いつでもどこでも使えるけれど，個別の問題において最適な解法とは限らない…

置換積分って，合成関数の微分を利用して公式を作って，それ以降は機械的に計算するだけのものになっていませんか？そんな方には次の写真を送ります． 区分求積が定積分（面積）の定義だと思っていませんか？実はそうではないのです．本当は，リーマン和とい…

１／３１に行われた大学入学共通テスト・数学ⅠＡです．中間発表での平均点が３５点！驚きです．そんなに難しいのでしょうか？僕は４７点くらいになると予想していて，第１日程の５５．６点（中間発表）よりは低くなりそうと思っていましたが，ここまでとは．…

【東大実績を伸ばし続ける「西大和学園」】図において，角BAC=90°,AB=ACである．角ACD=30°,角ABD=15°のとき，ACとCDの長さの比を最も簡単な整数比で表せ． ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝答えは「１：１」と分かるのですけど・・・導く…

※問題はお手元にあるという想定です！ 『総評と凡例』 高度な知識があれば一瞬で解ける問題が多い（第１問〔１〕，〔２〕，第２問，第５問）→知識で解く方針での指導に偏らないように注意したい！選択式の問題が多く，計算量が恐ろしく少ない→グラフや大小関…

※問題はお手元にあるという想定です！『総評と凡例』 計算の負担は軽減，読解の負担増，出題の意図を読み取って“論点を絞り込む”ことが重要．会話は，“無条件で使ってよい情報の提供”“重要なヒントの提示”にのみ使われ，「議論を深める」系は無かった．知識…

こんなことを考えていても役に立たないと思っていましたが，授業中の話の流れで高校１年生に発表することになりました（笑）やってて良かった．ということで，ブログでもご紹介．かなり定性的なアプローチですので，想像力をもって読んでもらえたらと思いま…

重箱の隅の隅の隅ばかり突いていて，頭がおかしい人だと思われそうですが（笑）定義に従って議論を進めて奇妙な結論になるからといって，感情的にそれを排除するのは良くないだろうと思います．ということで，そんな例を紹介しています． 全体集合をＵとして…

先日の記事 同値記号を使って証明を書く - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー ですが，Facebookで画像とちょっとのコメントだけ公開していました．インスタと同内容です． https://www.instagram.com/p/CIcZkaalsx0/ これに…

方程式１つで領域を表すシリーズも，ここまで来てしまいました（笑） |x-1|+|x-2|=1が1≦x≦2を表すことは何度も紹介しました．右辺は，2-1の1です．これを応用しまくると， |y-f(x)|+|y-g(x)|=f(x)-g(x)に自然に到達しますね（ぼくだけ？）． f(x)≦y≦g(x)とい…

「最小値≧6となるaの条件」を考えるのだから，aは“未知数”の扱いで，1),2),3)は“最終的”には『範囲の分割』になります．しかし，最小値を求める段階（xを消去するとき）には，aを“文字定数”として扱い，1),2),3)は“いったん”は『答えの分類』になっています…

空間内でのちょっと変わった方程式を考えてみました - yoshidanobuo’s diaryー高校数学の“思考・判断・表現力”を磨こう！ー 前回の円について |x^2+y^2+z^2-1|+|x+y+z|=0という書き方も可能，と友人からメッセージをもらいました．確かに！ 今回は最初から()…