空間ベクトルによる点の表現の理解を少しでも深めてもらえたらと思います．
重心を使ったアプローチです．
「係数の和＝１」の意味も合わせて確認していただければと思います．
左上の図のように，四面体の4頂点にそれぞれ１３，４，４，４の重りを置きます．
合わせて２５の重さです．
これが１か所に集まって２５の重り１個にするなら，どこに置くべきか？
その場所を重心と言います．
その点Ｘはベクトルを用いて，図のように表すことができます．
このＸの面白いところは，「いくつかの重りの重心を先に考えておいて，あとで合体しても同じ重心になる」ということ．
線分の両端に重りをおくと，重心は内分点．
三角形の頂点に“同じ重さ”の重りを置くと，重心は，三角形の重心．
（右上の図）
Ａ，Ｂ，Ｃにある重りを集めると，三角形ABCの重心Ｇに１２の重りがあることなります．線分OGを１２：１３に内分する点がＸです（１３：１２ではありません！）．
（左下の図）
Ｏ，Ａにある重りを集めると，線分OAを４：１３に内分する点Ｄに１７の重りがあることになります．
だから，重心Ｘは，平面ＢＣＤ上にあることが分かります！
「平面ＢＣＤと直線ＯＧの交点がＸである」と言えるわけです．
ちなみに，図にはないですが，ＢＣの中点Ｍに８の重りがあることにして，「線分DMを８：１７に内分する点がＸである」とも言えます．
（右下の図）
最後はちょっと変わった考え方です．
Oにある重りを，１，８，４に分けて，それぞれＡ，Ｂ，Ｃの重りと合体させます．
すると，各辺の内分点に５，１２，８の重りがあることになります．
「これらの３点Ｐ，Ｑ，Ｒを通る平面上にＸがある」とも言えるのです．
それぞれをベクトルで表現したものと比較してみてください．
分点の位置ベクトルの「係数の和が１になる」ようになっていますね．
これで，線分上・平面上にあることを表現できています．
定性的なアプローチとして，なかなか面白いですね！
