「内積は正射影だ」なんて言われることがあります．
正射影ベクトルの公式：
(ベクトルAC')＝{(AB，AC)／|ベクトルAB|^2}×(ベクトルAB)
を丸暗記させること，ありませんか？
私がどういう解釈をしているか，まとめてみようと思います．
平面内に，同一直線上にない３点A，B，Cがあるとする．
「点Cから直線ABに引いた垂線の足」をC'とおく．
すると，
AB⊥CC' ∴ ベクトルABとCC'の内積が０ ‥‥‥①
以後，内積を使った式は，例えば①なら，
(AB，CC')=0 ‥‥‥①
のように書くことにする．
(AB，CC')=(AB，AC'－AC)=(AB，AC')－(AB，AC)
であるから，① より
(AB，AC')=(AB，AC) ‥‥‥②
が成り立つ！
この式は重要な式である．
ベクトルAC'が，「ベクトルACの，ベクトルAB方向への正射影ベクトル」である．
「正射影ベクトルとの内積は，元のベクトルとの内積と等しい」というのが②の意味である．
C'は直線AB上にあるから，ベクトルAC'は「ベクトルABの実数倍」で，
内積が正のときは，ベクトルABと同じ向き
内積が０のときは，零ベクトル
内積が負のときは，ベクトルABと逆向き
である．
(ベクトルAC')＝ｋ×(ベクトルAB) (kは実数)
と置けて，②より
k×|ベクトルAB|^2＝(AB，AC) ☜両辺とも数値です（ベクトルではない！）
∴ k＝(AB，AC)／|ベクトルAB|^2
である．よって，
(ベクトルAC')＝{(AB，AC)／|ベクトルAB|^2}×(ベクトルAB)
である．
ここで，
{1／|ベクトルAB|}×(ベクトルAB)＝ベクトルe
とおくと，ベクトルeは，「ベクトルABと同じ向き」の単位ベクトルである．
直線ABを数直線と見る．
その際，Aが原点で，Bが正の方向にあるようにとる．
すると，この数直線の正の向きを表す単位ベクトルがeである．
(ベクトルAC')＝{(AB，AC)／|ベクトルAB|}×(ベクトルe)
となっているから，
(AB，AC)／|ベクトルAB|
が数直線上でのC'の座標である．
「ベクトルAC'の成分」と思っても良い．
２ベクトルAB，ACのなす角をθ（0≦θ≦π）とすると，
|AC|cos θ
がC'の座標である．
θが鋭角のとき，座標が正
θが直角のとき，座標が０
θが鈍角のとき，座標が負
である．
数直線を考えて，その中だけで「１次元ベクトル」を考えていることになっているのに気づいただろうか？
正射影ベクトルの公式
(ベクトルAC')＝{(AB，AC)／|ベクトルAB|^2}×(ベクトルAB)
を覚える必要はないが，「正射影ベクトルは，垂線の足を下した直線の中だけで１次元ベクトルを考えていることになる」という観点は重要である．
内積を
(AB，AC)＝|AB||AC|cos θ＝|AB|×|AC|cos θ
と分けて考えると，後半（|AC|cos θ）が，ベクトルAB方向（前半のベクトル）への正射影ベクトルの「座標」を表している．
「長さ」ではない！
負になることもあるからだ．
だから，垂線の足が線分AB内に，あっても，なくても，
(ベクトルAC')＝{(AB，AC)／|ベクトルAB|^2}×(ベクトルAB)
と１つの式で書けるのである．
鈍角のときに，うっかりマイナスを付けてしまったり，しませんか？
丸暗記しても，あまり意味はない‥‥‥
しかし，読みにくいですね．スミマセン．
