高校数学のベクトルでは，
「平面上のベクトル」と「空間上のベクトル」
は考えるが，
「直線上のベクトル」つまり「１次元のベクトル」
は考えないようだ．
１次元のベクトルとは？
直線上に２点A，Bをとって，有向線分ABを考える．
２，３次元と同じく，有向線分は，「位置」と「向き」と「大きさ」で決まる．
「有向線分」と「ベクトル」を混同している人も多いが，別物である．
「ベクトル」は，（「位置」を問題にせず）「向き」と「大きさ」で決まる量である．
少しややこしくなるが，ベクトルを，集合を利用して考えてみよう．
何次元でも構わない．
有向線分全体の集合において，有向線分ABと「向き」「大きさ」が同じであるものを１つにまとめると，同じ向きと大きさの有向線分を集めた部分集合ができる．
この部分集合が「ベクトルAB」と考えると良い．
部分集合の要素の１つ（これを“代表”と呼ぶことにする）として「有向線分AB」が取れるから，この部分集合を「ベクトルAB」と表すのである．
ベクトルABという部分集合には無数の有向線分が含まれるが，ベクトルABの代表となる有向線分として，いまは有向線分ABを取っているのである．
もちろん，別の有向線分，例えば有向線分OC（が含まれているなら，これ）を取ることもできる．
有向線分として有向線分ABと有向線分OCは（「位置」が違うなら）別のものである．しかし，同じ部分集合の代表になるから，ベクトルとしてベクトルABとベクトルOCは同じである．
ある学級を「A君の居るクラス」ということも「Bさんの居るクラス」ということもあると思うが，これと同じである．
この辺りをふわっとしか理解していないことは，ベクトルを学んでいないことと同じかも知れない．
ベクトルを使って問題を解くことができても，概念としてのベクトルはまったく分かっていない．
そういう人はけっこう多いのではないかと思う．
話がそれた．
直線上に２点A，Bをとって，有向線分ABを考える．
有向線分の集合を，
“「向き」と「大きさ」が同じである有向線分を集めた部分集合”
に分割する．
各部分集合がベクトルである．
各部分集合について，代表となる有向線分を何にしても良い．
始点が原点Oである有向線分を代表にすると，ベクトルは終点の座標で決まる．
１次元の場合は，どのベクトルも，１つのベクトル（単位ベクトルを取ると便利）の実数倍で表される．
その実数が，「始点がOのときの終点の座標」である．
もちろん，負になることもある．
この感覚を身に付けていると，「内積」との関連がある「正射影ベクトル」のイメージが付きやすくなるはずである．
正射影ベクトルについては，また別の機会で．
今書いている数Bの本には，これらを載せる予定である．
