方程式を如何にとらえるか

先日の中１の授業での板書．

xが１と等しい，のではない！

xに１を代入したときのみ，正しい式になる，ということ．

変な式になるだけで，１以外も代入できるのである．

 しかし，ある方程式の解である数は，ちゃんと値が確定し，存在している．
「方程式(条件)」と「解が満たす関係式(命題)」は，明確に区別する．

移項という操作しかやらないことが，マニュアル数学の始まりだろうと思います．

　「等しいものに同じものを加えても，等しい」
　「等しいものに等しいものを加えても，等しい」
などを公理としてきちんと構成していくことは，中１でも可能なのですね．

「等しい」と「同じ」が同じではないことも，大事なところです．


【問．3倍して1を加えた値と，5から引いた値が等しくなるような数は？】

それをaと表すと，aは
　3a+1=-a+5　☜成り立つ式
を満たす数である．
つまり，xについての方程式
　3x+1=-x+5　☜成り立たせる数は？という問い
の解である．
これは，
　x=1
と同じ方程式．
（☝ xに何を代入したら正しい式になるか？という問いかけ）
これの解は1である．
（☝ 「x=1が解」ではない！ただし，「1が解である」ことを「解はx=1」と表現することが認められている）
よって，aは1であることが分かる．
つまり，a=1である．
（☝ これは，数としてaは1と等しい，という意味である！）
　　　　＊　　　　　＊

【問．aは定数．方程式 2x+3a=1の解と方程式 3x+a=-2の解が一致するようなaは？】

 

解をbと表すことにすると，
　2b+3a=1　と　 3b+a=-2
の両方が成り立つ．(b,a)は，連立方程式
　2x+3y=1　,　 3x+y=-2

の解である．解は
　(x,y)=(-1,1)
だから，a=1である．
　　　　＊　　　　　＊

この意識が無いと，次のようになるとお手上げになる．

【問．aは定数．方程式 2x+3a=1の解に1を加えたら方程式 3x+a=8の解になる．そのようなaは？】

 

１つ目の方程式の解をbと表すことにすると，
　2b+3a=1　と　 3(b+1)+a=8
の両方が成り立つ．(b,a)は，連立方程式
　2x+3y=1　,　 3x+y=5

の解である．解は
　(x,y)=(2,-1)
だから，a=-1である．
　　　　＊　　　　　＊

「aが満たす方程式」という言い方も大事だが，「定数aが解になるような，変数xについての方程式」という方が正確であろう．
常にこれを意識していると混乱しそうになるけれど，いざというときには，ここに立ち返れるようになって欲しいな，と思う．