【ピーマン分類法】
共通テストで目を引いた【ピーマン分類法】．
統計は，もうすぐ必須になるにも関わらず，多くの先生方が学習を避けている分野です．
拙著などどうですか？
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本当は，それよりもこっちの方が断然オススメです．
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ピーマンを通じて，統計を少し身近に感じてもらいたく，解説してみようと思います．
大量のピーマンがあります．
重さの平均は30.0g，標準偏差は3.6です．
これらのイメージは，正規分布に従っていると仮定すれば
全体の68％が30-3.6～30+3.6に含まれる
を主要イメージとして，
全体の38％が30-1.8～30+1.8に含まれる
全体の95％が30-7.2～30+7.2に含まれる
という感じです．
個数が十分多いと，正規分布に近似的に従うことが知られています（中心極限定理という）ので，よっぽど偏りのある分布でない限り，だいたい当たります．
このイメージを利用したら偏差値の意味も分かってきます・
上記の重さを偏差値で表すと，1つ目が40～60，２つ目が45～55，３つ目が30～70です．
偏差値70以上と言うのは，その母集団において上位2.5%くらいというイメージです．
また，偏差値45～55が全体の約1/3なので，45以下，および，55以上もだいたい全体の1/3です．集団を3分割する基準はこのようになっています．だから，入試倍率が3倍であれば，合格するのに全体の上位1/3に入る必要があり，それは，受験者全体を母集団としたときに偏差値55を目指すことに相当します．意外と低いことに驚きます．
さて，大量のピーマンから無作為に2個選んで袋に詰めて，販売します．
公平性のために，１袋ずつの重さの分散を小さくしなければなりません．
そこで考えたのが【ピーマン分類法】です．
【ピーマン分類法】＊＊＊
無作為に抽出したいくつかのピーマンについて，重さが30.0g以下のときをSサイズ，30.0gを超えるときはLサイズと分類する．そして，分類されたピーマンからSサイズとLサイズのピーマンを一つずつ選び，ピーマン2個を1組とした袋を作る．
＊＊＊
25袋作りたいとします．
何個のピーマンを無作為に抽出しましょうか？
無駄なく50個ではどうでしょう？
S,Lがちょうど25個ずつになっていたら，そのときに限り，25袋を作ることができます．
そうなる確率は・・・
(50,25)/2^50
ここで，(50,25)は50個から25個を選ぶ選び方の個数（組合せの記号 C で表すもの）です．
これを計算すると，0.1122……であり，11％です．
意外と高確率である気もしますが，9割ほどの確率で再抽出する必要があって，逆に無駄ですね．
では，何個選べば，25袋作れる確率を95％以上にできるでしょう？
上記の通り，標準偏差2つ分を両サイドにとれば，約95％です．正確には
平均±1.96×標準偏差
です（正規分布表より）．
でも，計算の手間を減らすために，
平均±2×標準偏差
で考えることにします．
50+k個選ぶことにします．
Sサイズ，Lサイズのピーマンがともに25個以上含まれる確率を考えます．
「二項分布の性質」と「正規分布での近似可能性」と「標準正規分布への変換」を利用します（ここが，統計として理論を学ぶべきところ）．
Lサイズが25個以上とは，
S+L=50+k
だから，Sサイズが50+k-25=25+k個以下であると言い換えられます．
Sサイズが25個以上25+k個以下になる確率を考えます．
「二項分布の性質」から，Sサイズの個数の平均が(50+k)/2で，標準偏差が√(50+k)/2と分かります．
同じ分布の「正規分布での近似が可能」なので，
Y＝{(Sサイズの個数)-(平均)}/(標準偏差)
が「標準正規分布」になります．
＜補足＞
標準正規分布とは，平均が0で，標準偏差が1の正規分布ですから，
平均±2×標準偏差
というのがすごく分かりやすいです．
-2以上2以下ということです．
その範囲に対応する確率を，正規分布の表を用いて求めると．約0.95になっています．
25≦(Sサイズの個数)≦25+k
は，Yの範囲として
-k/√(50+k)≦Y≦k/√(50+k)
と書けるので，これが95％の範囲
-2≦Y≦2
を含んでいれば良いことになります．
求めるkの条件は，
k/√(50+k)≧2
であり，少し計算すると，k≧17と分かります．
50+17=67
67個選べば，95％以上の確率で25袋を作ることができます．
なお，ここの計算では，
k/√(50+k)≧2
の両辺を2乗して得られる2次不等式を考えます．
それを解くと√51が現れるので，7.14という近似値が与えられています．
しかし，整数値を考えるだけなので，
k^2≧4k+200
にいくらか代入すればＯＫです．14^2=196ですが，4kの分だけもっと大きくすべきで，k=16で不成立，k=17で成立することがわかります．
こういう感覚は，共通テスト全般で求められています．
