重箱の隅の隅の隅ばかり突いていて,頭がおかしい人だと思われそうですが(笑)
定義に従って議論を進めて奇妙な結論になるからといって,感情的にそれを排除するのは良くないだろうと思います.
ということで,そんな例を紹介しています.
全体集合をUとして,Uの要素に関する条件pを考えます.
条件pの真理集合Pとは
P={x∈U|xはpを満たす}
です.真理集合P,Qが等しくなる条件p,qは同値で
p⇔q
です.
P⊂Qのとき,pを満たすxは必ずqを満たすから,
p⇒q
が成り立ちます.
条件pは,条件qが成り立つための十分条件
条件qは,条件pが成り立つための必要条件
と言います.
“条件”について述べています.
“Uの要素xについての条件”とは,xにUの要素を代入すると“命題”になるもの.
“命題”とは,真偽の決まる数学的な式や文のこと.
条件に真偽はありませんが,Uのすべての要素xで成り立つような条件もあります.
条件に“すべて”や“ある”を添えると命題になることがあります.
すべてのx∈Uについて,pが成り立つ
pが成り立つようなx∈Uがある
正しいか正しくないか,判断できるものになるから,命題になっています.
p⇔q
は,
すべてのx∈Uについて,「pならばq」が成り立つ
かつ
すべてのx∈Uについて,「qならばp」が成り立つ
という意味です.
それを見るのに,集合という概念を用いるとスッキリするのですね.
P⊂Q かつ Q⊂P
と言い換えられるからです.つまり,
P=Q
ということ.
これらの議論は,すべて,事前に設定した全体集合Uの中で行っています.
「Uの部分集合として」
が前提になっています!
P={x∈U|xはpを満たす}
を見てください.
「Uの要素の中でpを満たすものをすべて集めた集合」となっています.
3条件:x=0,x=1,x>0について,負の数全体の集合をUとして考えると,真理集合が全部∅になるから,3つの条件は同値になります.
心情的には許しがたいですが(笑)
他には,例えば,
U={xは実数|x≦0}
とすると,真理集合は順に
{0},∅,∅
となり,{0}⊃∅ だから,
x=1 ⇔ x>0 ⇒ x=0
となってしまいます.
飽くまで,
0以下の実数xに関する条件として
ですよ!!
しかし気持ち悪いですね(笑)
論理的には正しいですが,心情的には受け入れがたくないですか?
※念のための補足※
命題として,0以下の数xについて
x=1 ⇔ x>0
x=1 ⇒ x=0
x>0 ⇒ x=0
が真であると言っているだけで,実際の数の性質について述べているものではありません!